七歲的小樹在美國(guó)上學(xué)時(shí)，有一天回家，說他和同學(xué)在學(xué)校“解剖”了一只南瓜。然后，他在家里重演了這一過程：取來幾張紙，畫上一個(gè)一個(gè)的圓圈，將南瓜種子10個(gè)10個(gè)放到圓圈里。紙鋪了一桌加一地，他終于得出結(jié)果：這只南瓜總共有237顆種子。

在學(xué)校里，他們分組數(shù)南瓜種子，因此看到不同的南瓜，種子數(shù)量是不同的。小樹還告訴我，學(xué)校里用了很大、很大的紙。我因而設(shè)想：每張紙上應(yīng)該有10個(gè)圓圈，完美地對(duì)應(yīng)10個(gè)10~100。孩子只需數(shù)格子放滿了的紙的數(shù)量，再數(shù)數(shù)沒有放滿的那張紙上種子的數(shù)量，就能得出南瓜種子的總數(shù)。

在此之前，小樹在學(xué)校已經(jīng)畫了大半年的數(shù)軸線跳格子。我默默安慰自己：正在為以后正式進(jìn)入加減法計(jì)算打概念基礎(chǔ)呢。有一天，他會(huì)懂得數(shù)位，了解10個(gè)1和10個(gè)10將要造就的數(shù)字宇宙，跳格子和數(shù)種子只是一個(gè)開始。在那個(gè)極其抽象的世界里，數(shù)學(xué)將呈現(xiàn)它極致的美和大用，然而基礎(chǔ)還是兒時(shí)的那些實(shí)相：那幾顆南瓜種子，那幾根手指頭，那幾粒糖果……小時(shí)候你曾經(jīng)掰來掰去地?cái)?shù)啊數(shù)，生怕藏著糖果的小口袋有個(gè)洞洞。心理學(xué)家皮亞杰的研究表明，對(duì)于“前運(yùn)算思維”階段的孩子，類似“數(shù)”的動(dòng)作是極其重要的，這些動(dòng)作將逐漸內(nèi)化為運(yùn)算，直到那個(gè)孩子再也不需要南瓜種子和糖果的輔助。

說回小樹，他回到國(guó)內(nèi)的小學(xué)后，跟著電視課程迅速地越過了數(shù)軸線跳格子階段，開始了兩位數(shù)加減法的正式學(xué)習(xí)。這時(shí)候我們拿到了《蒲公英數(shù)學(xué)圖畫書》，像平常睡前一樣，半躺在床上，開始閱讀《奇數(shù)與偶數(shù)》。“世界上有各種各樣的動(dòng)物……世界上有各種各樣的人……同樣也有各種各樣的數(shù)……想一想，為什么10是一個(gè)偶數(shù)呢？”越讀越不對(duì)勁，它不太像是一本睡前閱讀的書，它需要你傾注全力，拿出你的手指，你的筆，你的糖果，把數(shù)字具象化、場(chǎng)景化。

于是第二天，我們又坐在一起，讓左手的大拇指對(duì)著右手的大拇指——2個(gè)，食指挨著食指——4個(gè)，中指伸向中指——6個(gè)……他于奇數(shù)與偶數(shù)早已熟稔于心，但在十指慢慢相對(duì)聚攏的時(shí)刻，還是有些不一樣的感受。數(shù)字那么抽象，那么，它可以是溫暖的嗎？答案不再那么絕對(duì)了。凝神于指尖的過程中，數(shù)字已不再是冷冷的數(shù)字。

回到孩童世界，數(shù)字表征的具象事物本身是豐富和多元的：3可以是3顆糖果也可以是3只小鳥，5可以是5個(gè)朋友也可以是5次跳躍……孩子需要的正是大量的實(shí)物與經(jīng)驗(yàn)，去構(gòu)筑他們對(duì)于數(shù)字的感受和認(rèn)知，獲得對(duì)應(yīng)、對(duì)稱、時(shí)間這些抽象概念的雛形。

《蒲公英數(shù)學(xué)圖畫書》中有大量利用實(shí)物“操作”數(shù)字的例子，本身可以作為游戲互動(dòng)，營(yíng)建孩子的數(shù)感。而談到數(shù)字表征，《零不只是沒有》這一本，將表征的形式挖掘到了極致。零就是沒有，每個(gè)人都懂?？诖樟?，孩子們也都知道零食吃完了。我們也可以把孩子出生的那一刻稱作“零”，一個(gè)新生命的誕生之前與誕生之后，你新生活的巨大轉(zhuǎn)折點(diǎn)。零是火箭發(fā)射的分隔點(diǎn)，區(qū)別了發(fā)射之前與發(fā)射之后的時(shí)刻。生活中，還有許多類似的時(shí)間、空間，可以被化歸為零，它是百米賽跑的起點(diǎn)，是水開始結(jié)冰的溫度，是你玩游戲時(shí)的保本數(shù)……

當(dāng)然，零還有一個(gè)重要的作用。當(dāng)小樹數(shù)出237顆南瓜子的時(shí)候，他曾經(jīng)無數(shù)次、不知不覺地用到它，盡管最后的237這個(gè)數(shù)字里，并沒有零的位置。當(dāng)他數(shù)到10個(gè)1的時(shí)候，當(dāng)他擺滿10個(gè)10的時(shí)候，假如沒有零，他將無法表達(dá)他想要表達(dá)的數(shù)值。零表示了位值中空的位數(shù)，表示在它所處的位置上沒有東西。

不僅多角度解釋“零不是沒有”，這本書還回溯了零的歷史。像《零不只是沒有》一樣，數(shù)學(xué)圖畫書的許多本，不僅有橫向的演繹，也有縱向的梳理?？纯垂庞《热嗽鯓釉?000年前用點(diǎn)或小圓圈表示零，1500年前歐洲人如何將成年男子的拇指用作標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量單位，才能理解人類的“前運(yùn)算思維”何其漫長(zhǎng)，形成抽象數(shù)字概念的歷程何其曲折。

現(xiàn)在，人們理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的方式，也遠(yuǎn)比一般認(rèn)為的要遼闊寬廣。在現(xiàn)代學(xué)科高度分類化的體系中，37本數(shù)學(xué)圖畫書既包括代數(shù)、幾何、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)等通用的大類，也涉及數(shù)理邏輯、拓?fù)涞?ldquo;小眾”的領(lǐng)域。但這只是成人世界的區(qū)分。在孩子的成長(zhǎng)中，它們相互關(guān)聯(lián)，多元表征，形成的是“思維”，給出的是對(duì)于數(shù)學(xué)的整體理解。這37本書，跨度很大，內(nèi)容卻縱橫交錯(cuò)，彼此呼應(yīng)，就像小樹解剖那只大南瓜的時(shí)候，你能說清他學(xué)到的是代數(shù)，是幾何，是統(tǒng)計(jì)方法，還是生物科學(xué)？

他認(rèn)認(rèn)真真，把濕漉漉的南瓜種子一顆一顆分開來，放到畫好的圓圈里。種子淺黃飽滿，還泛著柔和的光。也許有那么一天，他會(huì)理解其中的秘密——他將南瓜種子放進(jìn)圓圈的時(shí)刻，不僅僅是為了得到最后的總數(shù)，還有一個(gè)更為宏大神奇的世界在等待他。

《蒲公英數(shù)學(xué)圖畫書》

[美]托馬斯·歐布里恩等 著，艾倫·艾岑等 繪

貴州人民出版社 2020年4月版