（本文作者張曉泉，清華大學經(jīng)管學院 Irwin and Joan Jacobs講席教授）

股市的風險一般是用波動率來衡量的，但是波動率并不能完全捕捉到所有的風險。

有沒有別的方法呢？

今天講講怎么用物理學和信息論里的概念——熵（entropy）——來衡量股市里的風險。

這個思路是基于一篇論文：

Almog, A., Shmueli, E. Structural Entropy: Monitoring Correlation-Based Networks Over Time With Application To Financial Markets.Scientific Report,9,10832 (2019).

關于熵的定義和公式有很多，但總的來說，熵就是用來衡量實驗可能結(jié)果的信息量或不確定性的。由于意外和不確定性是金融市場的日常，所以，把熵作為一種研究市場的工具似乎是一個不錯的想法。

其中，香農(nóng)熵是統(tǒng)計學和機器學習中最頻繁使用的一種熵。下面就來看看它如何在金融市場里發(fā)揮作用。

論文中引入了結(jié)構(gòu)熵的概念，并將其應用到了金融市場，以監(jiān)測基于相關性的網(wǎng)絡隨時間的變化。

數(shù)據(jù)分析

分析采用的是Kaggle的每日收盤價數(shù)據(jù)集。該數(shù)據(jù)集包含了32只股票，分別來自不同市場板塊從2000年到2018年連續(xù)交易的數(shù)據(jù)。

對于數(shù)據(jù)集中的每一只股票，推導出其每日對數(shù)收益的時間序列，對價格（對數(shù)收益）進行對數(shù)差分可以得到適合測量范圍的穩(wěn)定的正態(tài)分布信號。

然后用常規(guī)的測量方法去檢測數(shù)據(jù)中是否存在波動。

波動性（volatility）是對給定市場指數(shù)的收益分散性的統(tǒng)計度量，這個度量是指與市場變化規(guī)模相關的不確定性或風險水平。高波動性對應股價的高波動范圍，說明資產(chǎn)在短期內(nèi)可能朝任何方向發(fā)生劇烈變化。低波動性表明資產(chǎn)價值的波動不會太大，趨于穩(wěn)定。

 

在上面的數(shù)據(jù)中，高波動期出現(xiàn)在2000初期（網(wǎng)絡泡沫）、2008年（金融危機）之后以及隨后的一些時期。

結(jié)構(gòu)熵

將金融市場表示為基于相關性的網(wǎng)絡也是一個很有意思的想法。

將網(wǎng)絡節(jié)點表示為金融資產(chǎn)，網(wǎng)絡邊表示它們之間的相互作用，這種相互作用通常用價格相關性隨時間變化的幅度來衡量。將金融市場表示為基于相關性的網(wǎng)絡，對于識別動蕩或結(jié)構(gòu)性斷裂很有價值。

基于網(wǎng)絡這種結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)熵是一種量化給定網(wǎng)絡中結(jié)構(gòu)多樣性水平的度量。

在這個框架下，結(jié)構(gòu)熵指的是網(wǎng)絡中節(jié)點的異質(zhì)性水平，其前提是具有共享功能或?qū)傩缘墓?jié)點比其他節(jié)點的連接更為緊密。

接下來，通過以下步驟計算給定時間范圍內(nèi)的結(jié)構(gòu)熵：

• 測量序列的Pearson相關性，得到一個NxN對稱矩陣。
• 創(chuàng)建一個鄰接矩陣表示網(wǎng)絡邊。一個標準的方法是使用閾值來確定相關矩陣的哪些值將被轉(zhuǎn)化為網(wǎng)絡中的邊。
• 在鄰接矩陣上，采用社區(qū)發(fā)現(xiàn)算法（這里采用的是連接組件connected components）。
• 聚類過程的結(jié)果標簽（整數(shù)向量）用于計算經(jīng)典的香農(nóng)熵。換句話說，計算簇計數(shù)頻率的熵，結(jié)果值被定義為網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)熵。

將這些步驟整合在滑動窗口程序中，就可以監(jiān)測目標系統(tǒng)中隨時間變化的動態(tài)。其結(jié)果是一個新的結(jié)構(gòu)熵值的單一時間序列。

簡而言之，結(jié)構(gòu)熵相當于調(diào)整過的香農(nóng)指數(shù)，二者都是多樣性指數(shù)，但結(jié)構(gòu)熵可以從具有空間和時間依賴性的復雜結(jié)構(gòu)中提取出有價值的信息。

執(zhí)行完上述步驟，得到如下結(jié)果。

 

當網(wǎng)絡中的所有節(jié)點都被分配到同一個社區(qū)時，結(jié)構(gòu)熵的最小可達值為0。當每個節(jié)點組成一個單獨的社區(qū)時，則達到最大值。最大值取決于網(wǎng)絡中節(jié)點的數(shù)量（觀察到的序列數(shù)）。

正如案例中所展示的，結(jié)構(gòu)熵可以捕捉到2000年早期（網(wǎng)絡泡沫）、2008年后（金融危機）以及隨后一些時期的波動。如果把相關矩陣看成一個用散點圖繪制的圖表，就可以直觀地解釋背后的原理。

 

其中，點代表單只股票（網(wǎng)絡節(jié)點），顏色是股票所屬的聚類（由社區(qū)發(fā)現(xiàn)算法創(chuàng)建），邊是關系的強弱，兩只股票的相關性超過一定程度，則會將邊繪制出來。

在結(jié)構(gòu)熵最大的時期，股票往往各自獨立，形成獨特的聚類。在中等結(jié)構(gòu)熵時期，可以看到，一些股票屬于同一個聚類，并存在較強的相關性。在低結(jié)構(gòu)熵時期，大部分股票屬于同一個聚類，并存在大量的相關關系。

小結(jié)

上面介紹了一種新的方法來觀察價格序列幾何結(jié)構(gòu)的變化——即通過結(jié)構(gòu)熵來體現(xiàn)資產(chǎn)價格隨現(xiàn)有信息的功能變化而變化。

在這個過程中，信息的簡單變化會立即反應在價格上。從這個角度看，結(jié)構(gòu)熵可以從時間和空間的維度上對金融市場的關聯(lián)性進行度量，并對涉及不確定性的情況進行描繪和計算，以此來幫助衡量和判斷股市里的風險。

本文僅代表作者觀點。