（本文作者張曉泉，清華大學(xué)經(jīng)管學(xué)院 Irwin and Joan Jacobs講席教授）

 

如果投資是一個(gè)拋硬幣游戲（正面反面的概率相等，即輸贏的概率相等），你會(huì)選擇玩下去嗎？

這個(gè)問題不需要太多的數(shù)學(xué)知識(shí)也能回答，長(zhǎng)期來看，是不值得玩的。因?yàn)槟忝媾R的是純隨機(jī)性，純隨機(jī)性并不好玩。

有人可能會(huì)選擇一些以小博大、回報(bào)看起來“更大”的游戲，比如彩票或是賭博。然而，長(zhǎng)期購(gòu)買彩票和喜歡賭博的人，大概是沒有好好算過這筆賬的。因?yàn)橥ǔ２势焙唾€場(chǎng)的設(shè)計(jì)，就是讓玩家贏的概率小于輸?shù)母怕省?/p>

可能有人會(huì)反駁了，那些中了大獎(jiǎng)的人又怎么說呢？

事實(shí)上，即便有人中了大獎(jiǎng)或是有玩家在賭場(chǎng)連勝，彩票和賭場(chǎng)依然是賺錢的。

背后的原因是“大數(shù)定律”

現(xiàn)在有這么一種投資策略，勝率為52%，只比拋硬幣好一點(diǎn)，它能賺錢嗎？

如果你只是把投資當(dāng)作一次性的買賣交易，這個(gè)勝率其實(shí)沒什么意義。因?yàn)槟阌锌赡苴A，也有可能輸。

但是，如果把投資視為長(zhǎng)期的、持續(xù)地交易，這種微弱的優(yōu)勢(shì)就會(huì)轉(zhuǎn)化為強(qiáng)大的盈利能力。

上面講的這些例子，都受到概率論中一個(gè)基本定理——大數(shù)定律（Law of Large Numbers）的影響。

“......即使是最愚蠢的人，也知道某種自然的本能......證實(shí)觀察的次數(shù)越多，猜想就越可靠。”

——– Jacob Bernoulli

簡(jiǎn)單來講，大數(shù)定律實(shí)際上是指：觀測(cè)的樣本數(shù)量越多，觀測(cè)值就越接近于預(yù)測(cè)的平均值。

在拋硬幣的游戲中，連續(xù)拋出正面或反面都有可能，但隨著拋擲次數(shù)的增加，拋出硬幣的正反面概率會(huì)逐漸接近于50%。

 

 

對(duì)于賭場(chǎng)和彩票而言，大數(shù)定律就是保證其盈利的關(guān)鍵所在。

在彩票中，每張彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)都非常低，而且收益期望值（多次購(gòu)買的平均回報(bào)）明顯低于彩票的價(jià)格。

例如，一張彩票售價(jià)2元，但期望回報(bào)只有0.5元，這意味著每購(gòu)買一張彩票預(yù)計(jì)會(huì)損失1.5元。買1000張彩票就可能損失1500元。

隨著購(gòu)買彩票數(shù)量的增加，每張彩票的平均回報(bào)將向這個(gè)較低的期望值收斂。換句話說，購(gòu)買的彩票越多，總回報(bào)就越接近期望值（通常是損失）。因此，長(zhǎng)遠(yuǎn)看來，彩票并不是一項(xiàng)劃算的投資。

至于賭場(chǎng)，其中的每個(gè)游戲都有一個(gè)內(nèi)置的賭場(chǎng)優(yōu)勢(shì)，代表初始投注的平均損失。一些常見游戲的優(yōu)勢(shì)為：

Blackjack（21點(diǎn)紙牌游戲）：–0.75%

Baccarat（百家樂紙牌游戲）：–1.2%

Craps（骰子游戲）：–1.4%

Roulette（輪盤賭）：–5%

Slot machines（老虎機(jī)）：–(5~10)%

賭場(chǎng)里每天有那么多場(chǎng)賭局，只要在超過一半的賭局上贏利，賭場(chǎng)整體就賺錢了。

我們可以以52%勝率的投資策略為例，來算一下，要進(jìn)行多少次投資，才能確保獲勝的機(jī)會(huì)超過90%。

在這種情況下，我們用正態(tài)分布來近似二項(xiàng)分布。假設(shè)投資N次，每次投資的勝率p=0.52。定義變量：N：總次數(shù)。p：?jiǎn)未蝿俾剩?.52。q：?jiǎn)未问÷剩?.48。X：獲勝的次數(shù)。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)N足夠大時(shí)，二項(xiàng)分布B(N,p)可以用正態(tài)分布近似，即：

計(jì)算均值和標(biāo)準(zhǔn)差。均值：

標(biāo)準(zhǔn)差：

要使得獲勝機(jī)會(huì)大于90%，即：

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布找到對(duì)應(yīng)的Z值，使得右側(cè)的面積為0.1，即：

設(shè)定不等式并求解N：

所以，大約需要進(jìn)行N=1021次游戲才能確?？傮w獲勝幾率超過90%。

這個(gè)次數(shù)對(duì)于個(gè)人來說可能算比較多的，但在量化交易中是非常容易做到的。

其實(shí)，這個(gè)52%的勝率來自于大名鼎鼎的量化對(duì)沖基金文藝復(fù)興科技公司。

在一本關(guān)于西蒙斯的傳記中提到（《The Man Who Solved the Market: How Jim Simons Launched the Quant Revolution》），對(duì)于文藝復(fù)興科技來說，每筆交易的收益從來都不是很可觀，而且基金的判斷僅僅在略多于50%的時(shí)間里是正確的，但這樣已經(jīng)綽綽有余。

根據(jù)該公司內(nèi)部人員的說法，如果交易得足夠多，那么只要保證其中51%~52%的盈利就足夠了。比如在50.7%的情況下是對(duì)的，在這個(gè)前提之下，他們的操作是百分百正確的，這樣就足以賺到數(shù)十億美元。

實(shí)際上，這并不是文藝復(fù)興科技獨(dú)有的賺錢秘密，而是量化投資能夠賺錢的一個(gè)基本原理。

在大數(shù)定律的作用下，52%的勝率對(duì)量化來說就意味著在數(shù)千個(gè)同步交易中有著微弱的優(yōu)勢(shì)，累積起來就是一個(gè)足夠可觀且穩(wěn)定的、可以創(chuàng)造巨大財(cái)富的優(yōu)勢(shì)。

只要擁有微弱的優(yōu)勢(shì)，高頻的重復(fù)博弈就會(huì)放大收益。

這也體現(xiàn)了投資的本質(zhì)。

交易決策可能看起來是二元的，要么買，要么賣，但投資并不是單次的買賣，交易也不是一個(gè)get rich quick scheme。投資中有一些必須要考量的關(guān)鍵變量，比如愿意損失多少/如何追蹤利潤(rùn)，或者換句話說，交易的風(fēng)險(xiǎn)/回報(bào)是什么以及如何管理交易。

“重要的不是你是對(duì)是錯(cuò)，而是當(dāng)你正確時(shí)你賺了多少錢，當(dāng)你錯(cuò)誤時(shí)你損失了多少。”

 

——喬治·索羅斯

因此，在交易時(shí)，除了運(yùn)氣之外，還有一些東西在發(fā)揮作用，那就是技巧和技術(shù)，即投資者的優(yōu)勢(shì)所在。

從邏輯上講，只要有優(yōu)勢(shì)，就應(yīng)該盡可能多地交易。雖然短期市場(chǎng)走勢(shì)可能波動(dòng)且不可預(yù)測(cè)，但隨著交易數(shù)量的增加，結(jié)果往往會(huì)趨于穩(wěn)定。

大數(shù)定律能“保證”隨機(jī)事件的長(zhǎng)期穩(wěn)定結(jié)果，同樣重要的是，交易的樣本足夠大，可以最大化交易優(yōu)勢(shì)的成功結(jié)果數(shù)量，從而最大化賺錢的潛力。

從這一點(diǎn)上來說，量化交易能夠充分利用大數(shù)定律來釋放策略的優(yōu)勢(shì)。此外，量化投資遵循交易系統(tǒng)的規(guī)則，不會(huì)因?yàn)榍榫w使得具有優(yōu)勢(shì)的策略發(fā)生偏離，更加關(guān)注長(zhǎng)期收益，有助于在動(dòng)蕩的交易中保持穩(wěn)定。

所以，好的量化策略一定是賺錢的。

 

（本文作者張曉泉，清華大學(xué)經(jīng)管學(xué)院 Irwin and Joan Jacobs講席教授）

本文僅代表作者觀點(diǎn)。